TEOREMA DE LIOUVILLE EXPLICADO FACILMENTE

 Hola amigos , hoy hablaremos un poco del teorema de liouville, uno de los teoremas más importantes y menos complejos del fabuloso mundo de las funciones complejas, seguramente lo habéis visto en la universidad. 

Para estudiar o analizar una función en variable compleja, es necesario que sea analítica, en otras palabras, obedecer las ecuaciones de cauchy-riemann, según el teorema de cauchy, la integral cerrada de una función alrededor de un camino que encierra el punto ‘a’ es: 

 El teorema de Liouville, se deriva de esta fórmula, de una manera nada ortodoxa y sencilla, demostrando que en el análisis complejo se obtiene una mejor comprensión de una función que se obtendria del mismo modo usando los metodos analiticos tradicionales. Derivemos la fórmula que les mostré con respecto a ‘a’, y con el método de feynman: derivación bajo el signo integral, obtendremos:

 Tomando el camino de integración de la función alrededor de una circunferencia con centro en ‘a’ de radio ‘R’ y acotando ambos miembros, aquí una representación o sketch de lo que acabo de decir: 

Aplicamos el teorema de acotación: 

Los corchetes son el modulo, apliquémoslo a la identidad del principio:

Separando en el integrando, el módulo de una función es igual al módulo de todas sus partes: 

Aquí se viene la parte importante de la demostración, supongamos que la función es analítica y está acotada en todo C, entonces f(z) está acotada por un límite superior que toma en algún punto, pero además podemos hacerque "R", el radio de la circunferencia pueda tender a infinito sin restricciones pues no se asumio ningun limite al principio de la demostracion. Osea, tenemos:

Y reemplazando:

La integral alrededor de un camino de integración, es igual a la suma total de sus partes infinitesimales, resultando su longitud, además,con ayuda de la geometría, es dos pi por radio:

Tendiendo R al infinito, obtenemos que:

Y la hemos pillado tío, sencillamente deducimos, que: 𝑓 ′ (𝑎) = 0. Por calculo elemental, se deduce facilmente lo que buscabamos, es decir, que f(a) es una constante en todo C, mejor enunciemos el teorema de Liouville en sus propias palabras: