UNA BELLA PRODUCTORIA INFINITA

 Antes de empezar este post, solo debo decir que la fórmula de la que se derivara todo lo que viene después de ella, se puede demostrar con el teorema de la sumatoria de Posson o con el teorema de los residuos, siendo sincero, ambos métodos nos dicen poco acerca de su verdadero significado, aunque es suficiente por el momento decir que sus propiedades se deben nada más y nada menos que a las funciones elípticas, bien, sin mas cacareo, comencemos este enrollo.

Esta es la fórmula:

Veremos que obtenemos de esta fórmula, hagamos b=1:

Si nombramos cada una de estas productorias con las letras A y B respectivamente, para simplificar los cálculos:

 Y así nos encontramos con esta fórmula tan simple que dejaremos así por el momento:

El segundo paso, no es tan simple como el primer, es aquí donde los números complejos nos muestran de que están hechos realmente, a continuación, hacemos b=1/2:

Reemplazando esto en el paso anterior

Recordando la fórmula de Euler que todos conocimos en la secundaria y no la volvimos a ver hasta la universidad:

Operando

Extraemos raíz en ambos lados, luego descomponemos la productoria sobre los números pares e impares, para que quede más claro lo que acabo de decir, dejaré esta fórmula:

Ya no falta nada para terminar este embrollo, por último, recurrimos al gran Euler y a su grandiosa fórmula para sacarnos de apuros:

Finalmente, nos resulta un sistema de ecuaciones de primer grado, muy fácil de resolver, pasando por alto esto, se obtiene que:

Muy sorprendente a primera vista, pero que significan realmente, eso será un tema para otro post de integrando.

VALORES EXACTOS DE UNA INTEGRAL IMPROPIA

En este nuevo apartado, veremos que una integral impropia dificil de resolver con los clasicos metodos de integracion por partes, residuos, etc; se puede hallar sin recurrir mas que a la transformada de laplace, empecemos bien.

Y así concluimos otro apartado más en este blog, pero que hay detrás de estas integrales, todo lo que puede decirse de ellas es que tienen una estrecha relación con las integrales elípticas o doblemente periódicas, como puede verificarse con un pequeño truco. Integrando fuera...

DERIVACION DE UNA SERIE INFINITA INTRIGANTE

  Hoy, en este post, demostraremos una interesante serie con ninguna implicacion para el ojo inexperto, pero con profundas implicaciones si se analizan detalladamente, vamos a por ello.

Si queremos demostrar esta igualdad, procedemos por lo mas sencilla de hacerlo:

Aquí se viene el truco, reemplazamos la descomposición en serie de Fourier de la secante hiperbólica en el apartado anterior, es decir, la siguiente fórmula:

Entonces, solo nos queda reemplazar:

Obtenemos una serie doble infinita, pero aplicaremos un simple truco para obtener una sola serie infinita:

 Ahora si se viene lo chido, el truco consiste que en cada serie se sumara con respecto a 'n' en la primera, y con respecto a 'k' en la segunda, la magia esta en que la función se simplifica enormemente como por arte de magia, veamos:

Y así chavales, es como se obtiene la formula que se mostro al principio de esta nota:

Solo para aclarar una ultima cosa, esto no termina aquí, veremos que significa esta formula mas adelante, sin mas, cierro esta nota, no sin antes agradecer a Ramanujan, por sus ideas innovadoras que inspiran a generaciones de matemáticos.

DERIVANDO LA CLASICA FORMULA DE LAS INTEGRALES ELIPTICAS CON LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

 

😎😎😎😎😎😎😎😎😎

Aplicaciones de la transformada de Laplace

 Hoy deduciremos una formula, de esas que te hacen volar la cabeza y flipar como loco, con simple calculo de primer semestre, se requiere además tener algo de conocimiento de integral impropia y una entidad que se puede demostrar fácilmente si llevaron el curso de variable compleja en la universidad, vamos a por ella.

Usemos las siguientes formulas:

Apliquemos la transformada de Laplace del siguiente modo:

Por el teorema de Fubini, si integramos con respecto a la variable 'a', se obtiene esto:

Reemplazamos la parte del integrando por una expresión mas simple, para hacer mas fácil la integración

TEOREMA DE LIOUVILLE EXPLICADO FACILMENTE

 Hola amigos , hoy hablaremos un poco del teorema de liouville, uno de los teoremas más importantes y menos complejos del fabuloso mundo de las funciones complejas, seguramente lo habéis visto en la universidad. 

Para estudiar o analizar una función en variable compleja, es necesario que sea analítica, en otras palabras, obedecer las ecuaciones de cauchy-riemann, según el teorema de cauchy, la integral cerrada de una función alrededor de un camino que encierra el punto ‘a’ es: 

 El teorema de Liouville, se deriva de esta fórmula, de una manera nada ortodoxa y sencilla, demostrando que en el análisis complejo se obtiene una mejor comprensión de una función que se obtendria del mismo modo usando los metodos analiticos tradicionales. Derivemos la fórmula que les mostré con respecto a ‘a’, y con el método de feynman: derivación bajo el signo integral, obtendremos:

 Tomando el camino de integración de la función alrededor de una circunferencia con centro en ‘a’ de radio ‘R’ y acotando ambos miembros, aquí una representación o sketch de lo que acabo de decir: 

Aplicamos el teorema de acotación: 

Los corchetes son el modulo, apliquémoslo a la identidad del principio:

Separando en el integrando, el módulo de una función es igual al módulo de todas sus partes: 

Aquí se viene la parte importante de la demostración, supongamos que la función es analítica y está acotada en todo C, entonces f(z) está acotada por un límite superior que toma en algún punto, pero además podemos hacerque "R", el radio de la circunferencia pueda tender a infinito sin restricciones pues no se asumio ningun limite al principio de la demostracion. Osea, tenemos:

Y reemplazando:

La integral alrededor de un camino de integración, es igual a la suma total de sus partes infinitesimales, resultando su longitud, además,con ayuda de la geometría, es dos pi por radio:

Tendiendo R al infinito, obtenemos que:

Y la hemos pillado tío, sencillamente deducimos, que: 𝑓 ′ (𝑎) = 0. Por calculo elemental, se deduce facilmente lo que buscabamos, es decir, que f(a) es una constante en todo C, mejor enunciemos el teorema de Liouville en sus propias palabras: