Hoy, en este post, demostraremos una interesante serie con ninguna implicacion para el ojo inexperto, pero con profundas implicaciones si se analizan detalladamente, vamos a por ello.
Si queremos demostrar esta igualdad, procedemos por lo mas sencilla de hacerlo:
Aquí se viene el truco, reemplazamos la descomposición en serie de Fourier de la secante hiperbólica en el apartado anterior, es decir, la siguiente fórmula:
Entonces, solo nos queda reemplazar:
Obtenemos una serie doble infinita, pero aplicaremos un simple truco para obtener una sola serie infinita:
Ahora si se viene lo chido, el truco consiste que en cada serie se sumara con respecto a 'n' en la primera, y con respecto a 'k' en la segunda, la magia esta en que la función se simplifica enormemente como por arte de magia, veamos:
Y así chavales, es como se obtiene la formula que se mostro al principio de esta nota:
Solo para aclarar una ultima cosa, esto no termina aquí, veremos que significa esta formula mas adelante, sin mas, cierro esta nota, no sin antes agradecer a Ramanujan, por sus ideas innovadoras que inspiran a generaciones de matemáticos.
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