DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ

 Hoy resolveremos el siguiente problema de la IMO:

Sean a,b,c; tales que abc=1; demuestre que para todo a,b,c números reales positivos, se verifica que:

Empezamos notando que podemos reducir la expresión haciendo los siguientes cambios de variables:

Reemplazando estas nuevas variables, y con la nueva condición xyz=1, obtenemos una formulación del problema mas sencilla, es decir, minimizar la expresión:

Agrupamos los términos sumando y restando para poder aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz; esta es una desigualdad especial que en palabras simples nos dice que el producto interno de dos vectores en 'n' dimensiones es menos que el producto de sus módulos, una generalización del producto interno en 3 y 2 dimensiones.

Continuando con el problema, agregamos un factor (x+y+z) a la expresión de la siguiente manera:

Solo nos queda aplicar la identidad de Cauchy a la siguiente expresión:

Aquí culmina la demostración, solo reemplazamos en la expresión final, y hemos demostrado el problema:

Que es lo que queríamos demostrar.